Conjuntos e suas operações

Edu Chaves

4 jan., 2024

DEFINIÇÃO

Conjunto é uma coleção qualquer de objetos que são os seus ELEMENTOS.

Exemplos:

S = {Conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil} ou

S = {Minas Gerais, São Paulo, Espírito Santo, Rio de Janeiro}

REPRESENTAÇÃO

Podemos falar no conjunto A formado pelos números 1, 3, 5, 7 e 9 o qual podemos representar colocando os elementos entre chaves. A = {1, 3, 5, 7, 9}

Podemos também indicar os elementos dentro de uma curva fechada simples. Esta representação do conjunto A é conhecida como Diagrama de Venn.

Conjuntos Unitários

exemplos:

Conjunto dos satélites naturais da Terra

S = {Lua}

Conjunto dos números pares e primos

P = {2}

Os conjuntos com nenhum elemento são chamados de CONJUNTO VAZIO e existem duas formas de representar este conjunto. Veja:

F = { } ou F = Ø

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Relação entre elementos.

Símbolos

∈ Pertence a ou é elemento de

∉ Não pertence a ou não é elemento de

Exemplos: Seja B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}

Podemos dizer que: 0 ∈ B, 2 ∉ B, 25 ∈ B e 90 ∉ B

Conjuntos Iguais

Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos.

Se dois conjuntos não são iguais, escrevemos que A ≠ B (Lemos: A é diferente de B).

SUBCONJUNTOS E RELAÇÃO DE INCLUSÃO

Símbolos

Relação entre conjuntos e subconjuntos.

⊂ Está contido (está dentro)

⊄ Não está contido

⊃ Contém (tem dentro)

⊅ Não contém

A ⊂ B (Lemos: A está contido em B)

B ⊃ A (Lemos: B contém A)

Se existir ao menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que: A ⊄ B - A não está contido em B

Obs: Qualquer conjunto possui como subconjunto um conjunto vazio representado por { } ou Ø

Quantificadores

∀ Qualquer que seja

∃ Existe

∃! Existe um único

∄ Não existe

Implicação e Equivalência

NÚMEROS DE SUBCONJUNTOS

Para determinar a quantidade de subconjuntos de um conjunto basta utilizarmos a fórmula:

T= 2n, onde T é o total de subconjuntos e n é o número de elementos do conjunto.

Exemplo: y (1,2,3)

T=2³

= {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, Ø, {1,2,3} = 8 subconjuntos

Operações

União

A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

representação diagrama de Venn

Intersecção

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ b}

Diferença

A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Complementar

Cba = B - A

Cba = B - A = {5, 6, 7}

(funcefet 2012) Sejam x, y e z conjuntos assim definidos: X= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y= {1,2} e Z = {4, 6, 8}. Com relação a esses conjuntos, conclui-se que:

Sejam X, Y e Z conjuntos assim definidos: X = {1, 2, 3,4, 5, 6 } , Y = {1, 2} e Z = {4, 6, 8}. Com relação a esses conjuntos, conclui-se que:

A) Y € X

Está incorreta uma vez que Y é um conjunto, logo a nomenclatura correta é C de pertence, e não "€" que é referente a elementos.

B) 2 ⊃ X

Está incorreta, já que X não está contido em 2. Até porque 2 é um elemento subconjunto de X e Y.

C) X U Y = Y

Está incorreta pois a união de X e Y seria o próprio X. A interseção por sua vez aí sim seria o próprio Y.

D) Z ⊃ X

Está incorreta porque X não está contido em Z, pois X possue mais elementos que Z e ainda por cima Z possue o elemento "8".

E) (X ∩ Y ) ∩ Z = Ø

(X interseção Y) = {1,2} interseção Z = conjunto vazio, pois não há elementos para fazer interseção.

(UDESC1996) Seja A o conjunto dos naturais menores que 10 e seja B outro conjunto tal que A U B = A e A ∩ B é o conjunto dos pares menores que 10. Então o conjunto B é:

A) vazio

B) qualquer conjunto de números pares que contenha A ∩ B

C) A ∩ B

D) {x Є N | x é par}

E) {x Є N | x < 10}

(questão) Uma empresa divide-se unicamente nos departamentos A e B. Sabe-se que 19 funcionarios trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcionarios que trabalham em ambos os departamentos.Quantos funcionarios tem essa empresa?

a) 36

b) 32

c) 30

d) 28

Uma determinada empresa tem 2 departamentos, o departamento A e o departamento B. Sabe-se a seguinte relação entre os funcionários que trabalham nos departamentos:

Departamento A: 19 funcionários

Departamento B: 13 funcionários

Ambos os departamentos: 4 funcionários

A quantidade total de funcionários nessa empresa é:

A∪B = A + B - A∩B

A∪B = 19 + 13 - 4

A∪B = 32 - 4

A∪B = 28 funcionários

e) 24

(fcc 2004) O resultado de uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade para um dia de jornada extra no sábado e/ou no domingo, é mostrado na tabela abaixo:

Disponibilidade Número de funcionários

apenas no sábado 25

no sábado 32

no domingo 37

Dentre os funcionários pesquisados, o total que manifestou disponibilidade para a jornada extra “apenas no domingo” é igual a

a) 7

b) 14

c) 27

d) 30

apenas no sábado = 25

no sábado = 32 (32-25=7)

7 trabalham no sábado e domingo

no domingo = 37

37-7 = 30

e) 37

(puc) Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

a) 70%

b) 69%

9+8+14=31-100%=69%

c) 68%

d) 67%

e) 66%

(questão) Em uma empresa, 60% lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que leem as duas é?

a)20%

b)40%

A = 40%, B = 80% Não Leem nenhuma outra revista = 0%

Somar todo os percentuais

40%+80%+0%=140%

o total é 100%.

O valor que ultrapassar o total é a intersecção.

c)60%

d)75%

e)140%

Questão similar a de cima

(cespe 2018) Em uma consulta a 600 estudantes de uma escola acerca da preferência deles entre teatro ou cinema, apenas 50 deles não gostam de cinema nem de teatro. Entre os demais, 370 gostam de teatro e 420 gostam de cinema. Nesse caso, a quantidade desses estudantes que gostam de teatro e cinema é igual a

A) 50.

B) 130.

C) 180.

D) 240.

Somar os que gostam de teatro 370 + gostam de cinema 420 + os 50 que não gostam de teatro e nem de cinema = 840

O excesso é a interseção = 840-600 = 240

E) 370.

(fcc 2016) Após combater um incêndio em uma fábrica, o corpo de bombeiros totalizou as seguintes informações sobre as pessoas que estavam no local durante o incêndio:

− 28 sofreram apenas queimaduras;

− 45 sofreram intoxicação;

− 13 sofreram queimaduras e intoxicação;

− 7 nada sofreram.

Do total de pessoas que estavam no local durante os acidentes, sofreram apenas intoxicação

A) 48,38%.

B) 45,00%.

C) 42,10%.

D) 56,25%.

E) 40,00%.

28 APENAS sofreram queimaduras

45-13= 32

28+13+32+7= 80

Total = 80

intoxicação = 32

em percentual

80=100%

32 = x

80x = 32*100 = 3200

x = 3200/80= 40%

(vunesp 2015) Uma avaliação com apenas duas questões foi respondida por um grupo composto por X pessoas. Sabendo-se que exatamente 160 pessoas desse grupo acertaram a primeira questão, que exatamente 100 pessoas acertaram as duas questões, que exata mente 250 pessoas acertaram apenas uma das duas questões, e que exatamente 180 pessoas erraram a segunda questão, é possível afirmar, corretamente, que X é igual a

A) 520.

B) 420.

C) 370.

D) 470.

exatamente 100 pessoas acertaram as duas questões = interseção

exatamente 160 pessoas desse grupo acertaram a primeira questão = não diz "só", "somente" ou "apenas" então são pessoas que acertaram tanto a primeira quanto a segunda questão então 160-100= 60

exatamente 250 pessoas acertaram apenas uma das duas questões = pessoas que acertaram somente a primeira + a segunda questão 250-60 = 190

exatamente 180 pessoas erraram a segunda questão = 180-60 (os que acertaram a primeira questão somente) = 120

60+100+190+120 = 470

E) 610.

(fcc 2014) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã, almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:

− 5 se alimentam apenas pela manhã;
− 12 se alimentam apenas no jantar;

− 53 se alimentam no almoço;
− 30 se alimentam pela manhã e no almoço;
− 28 se alimentam pela manhã e no jantar;
− 26 se alimentam no almoço e no jantar;
− 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar.
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam apenas no almoço é
A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar.
B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã.

Tomar cuidado com a palavra "apenas".53 se alimentam no almoço contabiliza todos que estão no conjunto almoço.

C) a terça parte dos que fazem as três refeições.
D) a metade dos funcionários pesquisados.
E) 30% dos que se alimentam no almoço.

(pr-4 ufrj 2012) Uma frma está disposta a estimular os funcionários a terem hábitos saudáveis. Com esse fim, a frma encomendou uma pesquisa para verifcar seus hábitos em relação a: fumo, exercícios físicos e alimentação. Há 500 funcionários nesta frma e todos responderam o questionário da pesquisa.

Considerando A, o número de NÃO fumantes; B, o número de pessoas que praticam algum exercício físico e C, o número de pessoas que procuram ter uma alimentação saudável, a tabela abaixo informa os totais em cada categoria encontrados na pesquisa.

Com base nos resultados desta pesquisa, o número de funcionários que simultaneamente: fumam, não praticam exercícios físicos e não se preocupam com uma alimentação saudável é :

A) 25

B) 108

500 (total de funcionários) - 392 (total dentro dos conjuntos) = 108

C) 79

D) 93

E) 392

(esaf 2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:

A) 4

B) 6

x possui 64 subconjuntos

2x= 26= 64 (2.2.2.2.2.2) = 6 elementos

y possui 256 subconjuntos

2x= 28= 256 = 8 elementos

z = interseção = 2

somente em x = 6-2 = 4

somente em y = 8-2=6

P = y-x = 6 (elementos que estão somente em y [em amarelo], excluindo-se o x)

C) 8

D vazio

E) 1

(cespe 2016) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos.

Se A, B e C forem conjuntos quaisquer tais que A, B ⊂ C, então (C /A) ∩ (A ∪ B) = C ∩ B.

ERRADO

Os números como elementos estão apenas para melhor visualização. A interseção seria apenas o número 3. Por isso a questão está errado.

Obs: a barra nos parênteses (C / A) = (C - A).

(esaf 2006) Dados o conjunto A={2,4,6,8,10} e o conjunto B={x | x ∈ Z, 0 < x <10}, onde Z é o conjunto dos números inteiros, obtenha o conjunto C=A∩B.

A) C=A

B) C={2,4,6,8}

O conjunto B={o número x | (tal que) x ∈ (pertence) Z (conjunto dos números inteiros), 0 < x <10 (x maior que 0 e menor que 10 = B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}

C = A ∩ (interseção) B (números em comum)

C = {2,4,6,8}

C) C={x | x ∈ Z, x ≤ 10}

D) C={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

E) C= Φ onde Φ é o conjunto vazio

Fonte: Curso completo - Conjuntos para concursos - Aula 1 Felippe Loureiro https://www.youtube.com/watch?v=FZkAkOZ2VGI