Lógica: Equivalências lógicas.
Duas proposições compostas são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos.
Considerando A e B proposições compostas, representamos simbolicamente A ⇔ B, em que o símbolo ⇔ significa equivalente.
Principais leis de equivalências lógicas:
LEIS ASSOCIATIVAS
(A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C).
(A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C).
Podemos observar que na lei associativa são utilizados os operadores “e” e “ou”, os parênteses mudam de posição, porém, temos as mesmas interpretações (mesmos valores nas tabelas-verdade).
LEIS DISTRIBUTIVAS
A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
LEI DA DUPLA NEGAÇÃO
~(~A) ⇔ A
Proposições: Não é verdade que Reginaldo Aranha não é policial.
Proposições equivalentes: Reginaldo Aranha é policial.
LEI DA EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL (cai mais nas provas)
A → B ⇔ ~A ∨ B : A proposição “Se André é um aluno dedicado, então André passa no concurso” é o
A →B ⇔ ~B → ~A – Contra positiva ou contra recíproca:
Se a economia brasileira está em crise, então o poder aquisitivo do brasileiro fica comprometido.
É logicamente equivalente a dizer que: Se o poder aquisitivo do brasileiro não fica comprometido, então a economia brasileira não está em crise.
EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL
[(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B]
LEI DE MORGAN
~(A ∧ B) ⇔ (~A) ∨ (~B)
~(A ∨ B) ⇔ (~A) ∧ (~B)(FCC/TRF-1) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
Letra c. Considerando as proposições: Se todos nossos atos têm causas, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos nossos atos têm causas. Tomando como proposições: P: Todos nossos atos tem causas. Q: Não há atos livres. (P→Q) ^( Q→P) podemos inferir que P ↔ Q. Podemos perceber que a questão comuta (troca de posição) as proposições simples P e Q, em que podemos concluir que 2 (duas) condicionais produzem uma bicondicional “Todos os nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.” Dessa ideia, temos mais um conceito a ser mostrado, que é o seguinte: P é condição necessária e suficiente para Q. Temos as duas condições, simultaneamente, pois se trata de uma bicondicional.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
(EPPGG/MP/ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto:
a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
Letra c. Transformar condições necessárias e condições suficientes em condicionais.
Condição suficiente: condição que vai do antecedente para o consequente.
Condição necessária: condição que vai do consequente para o antecedente. (muda a posição)
Usar tabela verdade da condicional (só é FALSO de Verdadeiro para Falso V→F)
(F) (F)
P1: Alexandre ir à Alemanha → Carlos não ir ao Canadá (V)
(V) (V)
P2: Helena não ir à Holanda → Carlos ir ao Canadá (V)
(F) (V)
P3: Carlos não ir ao Canadá →Alexandre não ir à Alemanha(V)
(F) (F)
P4: Helena ir à Holanda → Alexandre ir à Alemanha (V)
d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha.
e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.
(ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,
a) Denise não dança ou Ana não chora.
b) Nem Beto bebe nem Denise dança.
c) Beto bebe e Ana chora.
Letra c
P1: Carmem cantar → Beto beber (V)
P2: Beto beber → Denise dançar (V)
P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)
P4: Carmem cantar (V)
Partindo de que todas as proposições são verdadeiras e utilizando as tabelas-verdade da condicional e bicondicional, valoramos as proposições simples. Uma dica é você começar sempre de uma proposição simples, caso tenhamos.
Lembrar: condicional só é falso quando é V → F, e Bicondicional só é verdadeiro quando são proposições iguais V ↔ V e F ↔ F)
(V) (V)
P1: Carmem cantar → Beto beber (V)
(V) (V)
P2: Beto beber → Denise dançar (V)
(V) (V)
P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)
(V)
P4: Carmem cantar (V)
d) Beto não bebe ou Ana não chora.
e) Denise dança e Beto não bebe.
(ESAF/ANEEL/TÉCNICO ADMINISTRATIVO/2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Letra e. Dada a proposição, temos: Elaine não ensaia → Elisa não estuda. O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o consequente (Elisa não estuda). O consequente (Elisa não estuda) é condição necessária para o antecedente (Elaine não ensaia). Segundo os itens da questão, não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário realizado anteriormente. O que fazer? Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim, podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, porém, será usada outra proposição logicamente equivalente à dada pelo enunciado da questão. A lei condicional, contrapositiva, possui as condições que a questão exige. Aplicando a lei condicional: Elaine não ensaia → Elisa não estuda ⇔ Elisa estuda → Elaine ensaia Agora, sim, temos que: I – Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. II – Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar
(PREFEITURA DE SÃO PAULO-SP/2018) Uma afirmação logicamente
equivalente à afirmação: “Se planto no tempo certo, então a colheita é melhor”, é:
a) Ou planto no tempo certo ou a colheita é melhor.
b) Não planto no tempo certo e a colheita é melhor.
c) Se não planto no tempo certo, então a colheita não é melhor.
d) A colheita é melhor ou não planto no tempo certo.
Letra d. A → B é equivalente a ~ B → ~ A (contrapositiva)
A → B é equivalente a ~ A v B.
Dessa forma, a equivalência de “se planto no tempo certo, então a colheita é melhor” pode ser:
“Se a colheita não é melhor, então não planto no tempo certo”. Ou
“Não planto no tempo certo ou a colheita é melhor” ou “A colheita é melhor ou não planto no tempo certo” (podemos comutar na proposição disjuntiva).
e) Se a colheita é melhor, então planto no tempo certo.
(PC-SP/AGENTE POLICIAL/2018) Considere a afirmação: “Mateus não ganha na loteria ou ele compra aquele carrão”. Uma afirmação equivalente a essa afirmação é:
a) Mateus ganha na loteria e não compra aquele carrão.
b) Ou Mateus não compra aquele carrão ou ele não ganha na loteria.
c) Mateus ganha na loteria ou ele compra aquele carrão.
d) Se Mateus ganha na loteria, então ele compra aquele carrão.
P ∨~ Q ⇔ P → Q (equivalentes)
Mateus ganha na loteria ou não compra aquele carrão
ou
Se Mateus ganha na loteria, então ele compra aquele carrão
e) Se Mateus não ganha na loteria, então ele não compra aquele carrão.
Fonte: Apostila Gran Cursos Online IBGE Raciocínio Lógico Estruturas Lógicas Pós-Edital 2019