Números naturais, inteiros, racionais, reais e suas operações

Números naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.
• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Números inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.
• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.
• Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Números racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Dízimas períodos (ex:  1,4444444444... Embora possua infinitas casas decimais, pode ser escrito como a fração 13/9.) = números racionais

Subconjuntos dos Números Racionais 

• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero. 
• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero. 
• Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero. 
• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero. 
• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Números Irracionais (I) 

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...

Números reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

número racional ≠ número irracional (e vice-versa)

Subconjuntos dos Números Reais

• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
• R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

Operações

Operações básicas em Matemática : a adição, subtração, multiplicação e divisão.

A ordem padrão é a seguinte: 

PEMDAS

• Parênteses 
• Expoentes 
• Multiplicação e 
• Divisão* 
• Adição e 
• Subtração*

*uma não leva prioridade sobre a outra, ou seja, devemos resolver as multiplicações e divisões da esquerda para a direita. 

Outras operações: Potenciação, radiação e logaritmação. 

Questões

(questão) Considere as seguintes proposições: 

I - o maior número inteiro negativo é o -1; 

II  - dados os números inteiros -50 e -80, temos -50 < -80; 

III - zero é um número racional. 

Está(ão) correta(s) a(s) proposição(ões): 

a) I, II e III. 

b) I e III, apenas. 

O -50 é maior que -80.

c) I e II, apenas. 

d) II, apenas. 

e) I, apenas. 

(coseaf uff 2016) A caixa d’água de uma escola está com sua capacidade máxima de 2400L. É preciso reduzir a quantidade de água para 450L. Usando-se baldes de 30L, para o trabalho serão necessários:

a) 80 baldes.

b) 65 baldes.

2400L-450L= 1950L

1950L/30 baldes = 65 baldes

c) 8 baldes.

d) 53 baldes.

e) 5,3 baldes.

((fcc 2012) Existem três caixas idênticas e separadas umas das outras. Dentro de cada uma dessas caixas existem duas caixas menores, e dentro de cada uma dessas caixas menores outras seis caixas menores ainda. Separando-se todas essas caixas, tem-se um total de caixas igual a:

A) 108.

B) 45.

3 caixas

3 caixas x 2 = 6 caixas menores

6 caixas menores x 6 = 36 caixa

3+6+36 = 45 caixas no total

C) 39.

D) 36.

E) 72.

(questão) Em janeiro, em uma região na Rússia foi registrada temperatura mínima de -67ºC,  enquanto no deserto do Saara foi atingida a temperatura máxima de +43ºC. A diferença entre as temperaturas máxima, registrada no deserto, e mínima, observada na Rússia, é igual a: 

a) 24ºC 

b) 104ºC 

c) 110ºC 

+43-(-67) = -(-67) = +67 = 43+67 = 110ºC

d) 120ºC 

e)124ºC

(vunesp 2018) A tabela fornece algumas informações sobre o número de vagas abertas e fechadas nos últimos três anos, pelas indústrias de uma determinada cidade. Imagem associada para resolução da questão 

O número de vagas fechadas em 2017 foi: 

a) 281. 

2015: 58 -x = -395

-x = -395-58

-x= -453

x=453

2016: x-66

453-66=387 (VF)

Vagas fechadas em 2017

Total: 446 (VA) - y (VF) = -675

-y = -675-446

-y= 1121

453+387 = 840

1121-840 = 281 vagas fechadas em 2017.

b) 272. 

c) 268. 

d) 285. 

e) 276.

(asep 2003) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a: 

A) 88 

Fração geratriz

1136-11/99000= 1125/99000 simplificando para fração irredutível é  1/88 e 1+88 = 89

Resolução vista aqui.

B) 89 

C) 90 

D) 91 

E) 92

(ufrj 2007) Gastei R$16,67 na padaria e o dobro dessa quantia na quitanda. Meu plano é gastar, no supermercado, no máximo o dobro do que gastei até agora. Se eu tinha R$200,00, antes dessas compras, e se conseguir manter meu plano, então voltarei com no máximo a seguinte quantia, em reais:

a) 34,23;

b) 42,56;

c) 49,97;

Padaria = 16,67 

Quitanda = 16,67+16,67 = 33,34 

Padaria + Quitanda = 50,01 

Supermercado = 50,01+50,01 = 100,02 

total gasto = 50,01+100,02=150,03 

200-150,03 = 49,97

d) 57,34;

e) 66,69.

(questão) Um circuito elétrico é composto por três resistências dispostas em paralelo. Uma unidade de medida de uma resistência é o ohm. No circuito, uma resistência é de 0,25 ohm, outra é de 0,2 ohm e outra é de 1 ohm. A resistência R equivalente do circuito é calculada pela expressão 

onde R1, R2 e R3 são os valores das três resistências dispostas em paralelo. Nesse caso, a resistência equivalente do circuito, em ohms, é igual a: 

a) 0,1 

1/0,25 + 1/0,2 + 1/1 = 4 + 5 + 1 = 10 

1/R = 1/10 = 0,1

b) 0,5 

c) 1,0 

d) 2,0 

e) 3,0.​

(questão) Nas últimas décadas, colecionar álbuns de figurinhas tornou-se febre entre jovens no Brasil, sobretudo em época de competições esportivas. Suponha que os pacotes de figurinhas de certo álbum contenham 5 figurinhas, e custem R$ 2,75 cada pacote. Esse álbum é formado por 649 figurinhas. Na melhor das hipóteses, a quantia mínima que um colecionador irá gastar para completar o álbum é?

a) R$ 356,95 

b) R$ 357,00 

c) R$ 357,50 

649/5=129 (arredonda para 130 pois sobra 4 [figurinhas] no final da divisão)

130*2,75 = 357,50

d) R$ 358,00 

e) R$ 258,75

(questão) Na última eleição para prefeitura de Candura, 3 candidatos disputaram as eleições. O candidato A obteve 2/7 dos votos, enquanto o candidato B obteve 3/10 dos votos e ninguém votou nulo ou em branco. O candidato que ganhou a eleição foi o candidato: 

a) B 

b) C 

A: 2/7

B: 3/10

C: ? (o voto restante)

Somar 2/7 e 3/10

Tirar MMC de 7 e 10 = 70

70 dividido pelo denominador 7 = 10 multiplicado pelo numerador 2 = 20

70 dividido pelo denominador 10 = 7 multiplicado pelo numerador 3 = 21

20/70 + 21/70 = 41/70

41 para 70 falta 29 (fração que resta)

29/70

De 70 votos, 29 foram para o candidato C. 

c) A 

d) A no desempate com C 

e) B no desempate com A

(cesgranrio 2005) Um funcionário recebeu uma tarefa para cumprir. Pela manhã, ele fez 1/3 da tarefa e à tarde1/4 do total. A fração da tarefa que ainda precisa ser feita é: 

a) 2/7 

b) 5/12 

1/3 + 1/4

tirar mmc de 3 e 4 = 12

12 dividido por 3 = 4 *1 = 4

12/4 = 3*1 = 3

4/12 + 3/12 = 7/12 (fração que falta) = 5/12

c) 3/7 

d) 4/7 

e) 7/12

(CBMERJ 2008) Os salários pagos aos profissionais de uma clínica ortopédica estão classificados em três níveis: I, II e III. A fração de profissionais que recebem salários do nível I  é 5/12 , enquanto que 3/8  dos profissionais recebem salários do nível III. Nessas condições, pode-se afirmar que a fração relativa ao número de profissionais que recebem os salários referentes ao nível II:

a) 5/24

Somar 5/12 e 3/8

tirar mmc de 12 e 8 = 24

dividir 24 por 12 e 8 = 2 e 3

multiplicar 2 e 3 por por 5 e 3 = 10 e 9

10/24 e 9/24 = somar = 19/24 (fração que resta 5/24) 

b) 17/24 

c) 13/24 

d) 11/24 

e) 7/24

(questão) Com 20 pontos, o motorista tem sua carteira de habilitação apreendida. Se Carlos já possui 3/4 dessa pontuação, quantos pontos faltam para Carlos ter sua habilitação apreendida?

a) 3 pontos.

b) 4 pontos.

c) 5 pontos.

20*3/4 = 60/4 = 15 (para 20 faltam 5, resposta da questão.

d) 6 pontos.

e) 10 pontos.

(cesgranrio 2006) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para processar 224 mil barris de petróleo por dia. Com a ampliação das instalações, essa capacidade aumentou em  no ano seguinte. Assim, pode-se concluir que, em 2005, a capacidade de processamento dessa refinaria, em milhares de barris diários, passou a ser de: 

a) 252

b) 308

224*3/8 = 672/8 (simplificando) 672/8/8/8 = 84/1 = aumento de 84 mil barris

224+8 = 308

c) 318

d) 352 

e) 368

(cespe 2009) João, Pedro e Carlos compraram um imóvel em sociedade de modo que João tem direito a 7/20 do valor da propriedade, Pedro tem direito a 1/4 e Carlos, a 2/5 . Com base nessa situação, julgue o item a seguir. Se o imóvel for avaliado em R$ 60.000,00, então a parte dos direitos de Pedro e Carlos corresponde a:

a) R$ 40.000,00 

b) R$ 39.000,00 

1/4 + 2/5 = 5/20 + 8/20 = 13/20

13/20 de 60.000 = 39.000

c) R$ 32.000,00 

d) R$ 30.000,00

(nce 2006) Uma equipe realizou, num primeiro dia, três oitavos de uma tarefa. No dia seguinte, executou um terço do que faltava. Ainda falta executar a seguinte fração da tarefa:

a) 5/12

3/8 

1/3 do que faltava

faltou 5/8

1/3*5/8=5/24 

3/8+5/24 = 9/24+5/24 = 14/24 falta 10/24 simplificando = 5/12

b) 3/16

c) 7/25

d) 4/9

e) 2/11

(questão) Se 2/5 de uma certa quantia corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma quantia corresponde a: 

a) R$ 22,40 

b) R$ 28,80 

c) R$ 56,00 

d) R$ 72,00 

e) R$ 180,000

2/5*x=56 2x=56.6 2x=280 x=280/2 x=140 9/7.140 = 1260/7 = 180

(fcc 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22. O produto A . B . C é igual a Alternativas 

a) 3,072072072...

b) 3,636363...

A= 8/3 B= 8/3 C= 14/22 = 40/11 = 3,6363

c) 3,121212...

d) 3,252525...

e) 3,111...

(questão) Uma indústria tem 7500 litros de leite para armazenar em caixinhas com capacidade de 2/5 de litro. O número de caixinhas suficientes para armazenar todo o leite é de:

a) 3000

b) 18750

7500/2/5 = 7500*5/2=37500/2 = 18750

c) 15000

d) 3750

e) 5200​

(prefeitura do rio de janeiro 2016) Um aluno, ao calcular 3/5 de 10/9 do número 60, obteve o resultado correto igual ao número n. O valor de n é igual a:

a) 45 

b) 40 

3/5*10/9*60=n

3*10*60=1800

5*9*1=45

1800/45 = 40

c) 35 

d) 30

(quadrix 2019) Duas empreiteiras realizarão conjuntamente uma obra de pavimentação de estradas na cidade de São Bernardo do Campo. Em uma dessas obras, uma das empreiteiras pavimentou 3/5 de uma estrada, e a outra, os 36 km restantes. Em relação à referida estrada, pode-se dizer que sua extensão é de:

A) 64 km

B) 81 km

C) 90 km

3/5*x

2/5*x=36

36/2 = 18

18 (cada quinta parte)*5= 90

D) 105 km

E) 135 km

(prefeitura do rj 2016) Em uma caixa existem n balas e, em relação a essa quantidade, sabe-se que 1/6 são balas de leite, 2/3 são balas de mel e as 7 restantes são de hortelã. A soma dos algarismos do número n é igual a:

A) 4

B) 5

C) 6

1/6+2/3 = mmc = 1/6+4/6 = 5/6 (falta 1/6) = 1/6*n=7 = 42 (soma dos algarismos) e 4+2=6

D) 7

(prefeitura rj 2016) Admita que uma determinada pessoa contraiu uma dívida e, para ajudar no pagamento, resolveu vender brownie. Num determinado mês foram vendidos 200 brownies, cada um por R$ 2,25 e o valor total obtido por essa venda equivale a 3/40 da dívida. O valor total, em reais, dessa dívida é igual a:

A) 7750,00

B) 7550,00

C) 6500,00

D) 6000,00

200*2,25=400

3/40=400

400/3 = 150 (cada parte da dívida tem esse valor)

150*40 = 6000,00

(nc ufpr 2019) Jéssica saiu de casa com uma certa quantidade de dinheiro. Comprou um sanduíche gastando metade desse dinheiro, e depois comprou um suco, gastando 2/3 do que sobrou. Sabendo que, após as duas compras, restaram-lhe R$ 2,50, é correto afirmar que Jéssica saiu de casa com:

A) R$ 35,00.

B) R$ 30,00.

C) R$ 25,00.

D) R$ 20,00.

E) R$ 15,00.

2,50 representa 1/3 do que gastou com suco (o que sobrou de dinheiro)

2,50*2 (as duas partes do terço) = 5,00 (valor gasto com o suco)

2,50 o troco

5,00+2,50 = 7,50 total 

7,50 é a outra metade do que gastou com sanduíche

7,50+7,50= 15,00

(fcc 2019) Para uma festa infantil, calculou-se serem necessários 600 ml de suco por criança e 200 ml de água por criança. Se o litro de suco custa R$ 5,00 e a garrafa de 1,5 litro de água custa R$ 2,30, para uma festa com 60 crianças, o custo, em reais, dessas bebidas será de

A) 198,40.

600ml de suco*60= 36000ml = 36L 

200ml de água *60= 12000ml = 12L 

36*5 = R$ 180,00 

12L/1,5L = 8 (garrafas) 2,30*8 = 18,40. 

180+18,40 = 198,40

B) 240,00.

C) 73,60.

D) 207,60.

E) 110,40.

(questão) Na venda em atacado, ao comprar 20 itens de um determinado produto, o cliente irá pagar R$ 68,00. Durante uma semana de promoções, o valor foi reduzido ainda mais, custando a metade do preço cada unidade do produto. Ao comprar o triplo de itens comprados inicialmente, qual será o valor pago pelo consumidor? 

a) R$ 102,00 

68/20 = 3,40

3,40/2 = 1,70

1,70*20*20*20 (60) = 102,00

b) R$ 204,00 

c) R$ 136,00 

d) R$ 180,00 

e) R$ 208,00

Fontes: O que são NÚMEROS INTEIROS - Aula 2 prof Felippe Loureiro https://www.youtube.com/watch?v=PLFSwsEy5O0

https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/