Princípios de contagem e noção de probabilidade

 Análise combinatória 

1) Princípio fundamental da contagem (PFC) 

Se um determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de p1 maneiras diferentes, a segunda de p2 maneiras, a terceira de p3 maneiras, até pn, o número total (T) de maneiras de ocorrer o acontecimento é:

T = p1 x p2 x p3 x... x pn

Arranjo

São agrupamentos formados com p elementos de um conjunto de n elementos. 

A ordem faz diferença. Cai questões de senhas, placas, colocações em esportes (futebol, campeonato, etc). 

(questão) Numa competição de futebol, participam 8 times. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer? 

A8,2 = n!/(n-p)! = 8!/(8-2)! = 8!/6! = 8.7.6!=6!=8.7=56

ou

_,_

8 (times).7 (times, um já está na outra colocação)=56

Permutação 

São agrupamentos ordenados e todos os elementos são usados e permutados. 

Cai questões de anagramas. 

(questão) Em relação a palavra TEORIA, quantos anagramas podemos formar? 

Teoria tem 6 letras, logo é 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

(questão) Calcule o número de anagramas da palavra AMOR.

N=4 Pn=N! = P4=4! = 4.3.2.1 = 25

Combinação 

São agrupamentos que não são ordenados. Ordem não faz diferença. Cai questões de comissões, grupos, duplas, equipes

(questão) Numa turma de 10 alunos, quantos grupos de 3 podemos formar?

Cn,p=n!/(n-p)!.p!=10!/(10-3)!.3!=10!/7!.3!=10.9.8.7!/7!.3.2.1=120

ou

C10,3= 10.9.8/3! = 10.9.8/3.2.1 = 120 (neste método, abre o primeiro número conforme "pede" o outro número, neste caso são 3). 

Questões

(questão) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-los, quantos números podemos formar?

_, _, _, _, _,

7 x 6x 5x 4 x3 = 2520

7 possibilidades na primeira linha, 6 possibilidades apenas (pois não pode-se repetir os números), mesma lógica nas demais linhas. 

(questão) quantos anagramas tem as letras T, E, O, juntas nessa ordem? 

T,E, O juntas é um bloco e conta como uma só. Logo

TEO _ _ _

São 4 lugares. Então: 4! = 4.3.2.1= 24

(questão) Quantos anagramas tem as letras T, E, O juntas? 

Neste caso, o bloco TEO também permutam.

TEO _ _ _

3!  x      4!

(questão) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra BATATA? 

A palavra tem letras que se repetem, as letras A (3 vezes) e T (2 vezes). Logo, Total = 6! Letra A = 3! T= 2! 

6!/3!x2!

6.5.4.3/3!x2! = 6.5.4/2 = 60

(questão) De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar ao redor de uma mesa circular? 

Permutação Circular = (Total -1)! PC= (5-1)! 4! = 24

(questão) O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é igual a? 

C10,3 = 10.9.8/3! = 10.9.8/3.2.1 = 720

(questão) Quantos números de três algarismos pode-se construir, sendo os três algarismos diferentes, ou seja, sem repetir, nenhum deles? 

_, _, _

A primeira linha não pode zero pois (ex: 021 (são apenas 2 algarismo, e não 3 algarismos). Mas pode ser 201 (neste caso são 3 algarismos). A segunda linha pode repetir os números, excluindo um algarismos e incluindo o zero e terceiro diminui 2 algarismos. Logo:

9, 9, 8 = 648

(prefeitura do rj 2013) Uma determinada quantidade de relatórios é identificada por uma sequência de dois algarismos, seguida de duas letras, convencionando-se que: 

-os algarismos que podem ser utilizados são 2,3 e 4; 

-as letras que podem ser utilizadas são A, M, P e Q. 

-cada algarismo e cada letra só pode ser utilizada uma única vez. 

A quantidade máxima de relatórios que podem ser identificados, respeitando-se as condições acima, corresponde a: 

a) 64 

Montando o problema: A combinação é de 2 algarismos + 2 letras. Disso resulta que temos que multiplicar a quantidade de opções de combinação de letras pela quantidade de opções de combinações de algarismos para termos as opções totais. Algarismos Temos o total de 3 algarismos para escolher o primeiro, e depois de escolhido sobram 2 para escolher para o segundo. Assim, a quantidade total de opções é 3x2, ou seja 6. Letras De um total de 4 letras, depois que escolhermos a primeira sobram 3 para escolher como segunda. Disso resulta que temos 4x3 opções, total 12. Para finalizar a identificação do relatório multiplicamos as 6 opções de algarismos pelas 12 opções de letras: 6x12=72

Questão de Arranjo: 3 (algarismos) x 2 (algarismos)  x  4 (letras) x 3 (letras) = 6 * 12 = 72

b) 72 

c) 84 

d) 90

(fcc) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou? 

a) 224.

Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem, temos um novo agrupamento; logo, a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão, temos algumas restrições, pelas quais iremos iniciar. A senha a ser digitada possui 4 algarismos; logo, teremos 4 posições:

_____× _____× _____× _____=

Nessas 4 posições, temos: algarismos distintos; o número formado é par (a restrição é na última posição, pois um número par é aquele que termina em {0, 2, 4, 6, 8}) e a senha começa com o número 8, ou seja, uma possibilidade.

b) 210. 

c) 168. 

d) 144. 

e) 96

(cespe 2008) Considerando que as matrículas funcionais dos servidores de um tribunal sejam formadas por 5 algarismos e que o primeiro algarismo de todas a matrículas seja o 1 ou o 2, então a quantidade máxima de matrículas funcionais que poderão ser formadas é igual a

A) 4 × 10³.

B) 1 × 104 .

C) 2 × 104 .

Vamos dividir o problema em etapas. Cada etapa vai corresponder à escolha de um algarismo. - para a primeira etapa temos 2 opções (1 ou 2) - para as demais etapas, temos 10 opções (algarismos de 0 a 9) Aplicando o PFC: 2x10x10x10x10=2x10(elevada a quarta potencia). logo, letra C. Para este caso, pode haver repetição e a ordem não importa.

D) 2 × 105.

E) 3 × 105.

(questão) Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao girar os contadores, esses números podem ser combinados, para formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses números podem ser combinados para se tentar encontrar o segredo? 

a) 10000 

Como a questão não especifica se os números devem ser distintos, logo os números podem se repetir. Então: 10x10x10x10=10000.

b) 64400 

c) 83200 

d) 126 

e) 720

(cespe 2010) Com relação aos princípios e técnicas de contagem, julgue o   item  subsequente.

Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe, um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos de informações —, o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.

Total = 7

3 possibilidades

_, _ , _

Não pode repetir

7, 6, 5

7*6*5 = 210

ERRADO.

Alberto e mais 4 amigos vão ocupar esses 5 lugares, mas Alberto não quer ficar na cabeceira.

(fepese 2016) Em um colégio os alunos irão eleger o diretor, vice-diretor e tesoureiro entre os 20 professores do colégio. De quantas maneiras esta escolha pode ser feita?

A) 6980

B) 6840

_, _, _ 

20, 19, 18

20x19x18= 6840

ou

20,3= 20!/(20-3)!=20!/17!= 20.19.18.17...= 6840

C) 6720

D) 6660

E) 6220

(copese 2018) Em um ônibus coletivo de Palmas, há 7 (sete) lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem 2 (duas) pessoas se sentar?

A) 5

B) 14

C) 42

_, _

7x6 = 42

ou

A7,2 = 7!/(7-2)! = 7!/5!= 7.6.5...= 7.6 = 42

D) 49

(cesgranrio 2012) 

Em uma pequena sala de projeção, há cinco cadeiras dispostas em linha, lado a lado, e numeradas de 1 a 5. Quatro pessoas vão ocupar quatro dessas cadeiras. As possíveis ocupações das cadeiras distinguem-se não só pela cadeira vazia, mas, também, pela disposição das pessoas nas cadeiras ocupadas. De quantos modos as cadeiras podem ser ocupadas pelas quatro pessoas?

A) 5

B) 20

C) 24

D) 120

A5,4 = 5!/(5-4)!=5!/1!= 5.4.3.21=120

E) 1.024

(idcap 2019) Dez equipes disputam um campeonato em que serão premiados o campeão e o vice. Quantas classificações entre as equipes são possíveis para os dois primeiros lugares, supondo que haverá apenas um campeão e um vice?

A) 10

B) 20

C) 30

D) 50

E) 90

A10,2

10!/(10-2)! = 10!/8! = 10.9=90

(cespe 2010) Para dificultar o acesso de pessoas não autorizadas aos arquivos de determinada instituição, procedeu-se à proteção desses arquivos com senhas compostas por 3 letras minúsculas escolhidas entre as 24 primeiras letras do alfabeto, seguidas de 6 dígitos escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Além dessa senha de arquivo, é necessário, para o acesso a documentos altamente sigilosos, que três dos sete diretores da instituição digitem, cada um deles, sua senha pessoal. Considerando a situação hipotética acima, julgue o item a seguir. 

Considere que um hacker tenha elaborado um software para descobrir a senha dos referidos arquivos e que esse software teste 1.000 senhas por segundo. Nessas condições, 150 dias é o tempo máximo necessário para se descobrir a senha de qualquer um dos arquivos da instituição.

C7,3 = 7.6.5/3.2 = 35

ERRADO.

(idecan 2018) Para uma excursão ao museu, foram selecionados 8 meninos e 10 meninas. A coordenação da escola achou prudente formar uma comissão de liderança entre os estudantes selecionados, sendo que seriam escolhidos 2 meninos e 3 meninas. Quantas comissões podem ser formadas?

A) A10,3 . A8,2

B) A10,3 + A8,2

C) C10,3 . C8,2

8meninos e 10 meninas

2 meninos e 3 meninas

C8,2. C10,3

D) C10,3 + C8,2

(utfpr 2018) Uma empresa necessita de uma equipe com 6 integrantes, sendo três homens e três mulheres. Ela dispõe de 9 funcionários, cinco homens e quatro mulheres. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras diferentes que essa equipe pode ser formada.

A) 240

B) 80

C) 40

3homens 3mulheres

5homens 4mulheres

C5,3 C4,3

n!/p! (n-p)!

5!/3!(5-3)! = 5!/3!2! = 10   | 4!/3!(4-3)!= 4!/3!1!= 4

10*4 = 40

20*4=

D) 60

E) 120

(copeve 2011) Dispondo-se de 8 advogados e 10 médicos, podemos formar quantas comissões contendo 10 pessoas com exatamente 6 advogados e 4 médicos?

A) 5880 comissões.

8A 10M

6A 4M

C8,6 x C10,4

8!/6!(8-6)!=8!/6!4! = 28

10!/4!(10-4)!=10!/4!6! = 210

28*210 = 5880

B) 5870 comissões.

C) 5670 comissões.

D) 5980 comissões.

E) 5480 comissões.

A) 48%

B) 52%

C) 40%

Das 25 cadeiras, 12 são pares, excluindo-se a terceira fileira (no qual tem 2 cadeiras pares), fica 10/25 = 0,4 ou 40%

D) 50%

E) 60%

(fgv 2019) Valdo é estagiário em um escritório de advocacia e, na semana que vem, deverá escolher para trabalhar três dias de segunda a sábado. O escritório não permite que um estagiário trabalhe dois dias consecutivos.
O número de possibilidades que Valdo tem para escolher seus dias de trabalho é:

Resposta: 4 possibilidades.

(fgv 2015) As idades das pessoas que trabalham em certa empresa estão distribuídas em faixas como mostra a tabela a seguir: 

Se uma dessas pessoas for escolhida ao acaso, a probabilidade de que tenha menos de 40 anos é: 40%

1- Somar o número de pessoas = 80
2 - somar as pessoas com menos de 40 anos = 12+20=32
32/40, simplificando dá ⅖=0,4 = 40%

(fgv 2021) O dia 01 de abril de 2022 cairá em uma sexta-feira. Escolhe-se ao acaso um dia desse mês. A probabilidade de que esse dia seja um sábado ou um domingo é de: 3/10

(fgv 2019) Peter é um ótimo lançador de dardos. A cada lançamento, a probabilidade de Peter acertar o alvo é de 90% e independe de Peter ter acertado ou não o alvo em lançamentos anteriores. Após fazer dois lançamentos em sequência, a probabilidade de Peter ter acertado o alvo nos dois lançamentos é de: 81%

-Eventos sucessivos, multiplicar os eventos.

(fgv 2021) Marcela é praticante de tiro ao alvo. Quando ela acerta um tiro no alvo, a probabilidade de ela acertar o tiro seguinte é de 90%. Quando ela erra um tiro, a probabilidade de ela acertar o próximo tiro é de 80%. 

Hoje, Marcela errou o primeiro tiro. A probabilidade de ela acertar o terceiro tiro é de: 88%

(fgv 2014) Em votações abertas na Assembleia Legislativa, os deputados X, Y e Z votam em sequência.
Sabe-se que os deputados Y e Z, na hora de votar, têm 60% de probabilidade de acompanhar o voto do deputado que votou imediatamente antes de cada um deles.
Em uma determinada votação aberta, o deputado X votou a favor da proposta em votação.
A probabilidade do deputado Z também votar a favor da proposta em votação é: 52%

(fgv 2021) Em um campeonato de futebol, quando o TIMEX joga em casa, a probabilidade de ele ganhar o jogo é de 60%, mas quando ele joga fora de casa, a probabilidade de ele ganhar o jogo é de 50%.

Nos próximos três jogos do campeonato, o TIMEX jogará dois em casa e um fora de casa.

A probabilidade de o TIMEX ganhar pelo menos um desses três jogos é: 92%

(fgv 2018) Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 cartões da caixa.
A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de: 

-Ao retirar o 2º cartão, sobram 5 cartões vermelhos e 9 cartas do total. Por isso 5/9. 
-Multiplicar a primeira probabilidade com a segunda probabilidade. 
(fgv 2017) Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é: 1/3

-como não tem imposição de ordem (a primeira pessoa tem que ser do departamento A ou vice-versa), então aumenta a probabilidade.
-tem que somar o resultado das duas probabilidades
(fgv 2019) Uma urna M contém 3 bolas iguais numeradas de 1 a 3 e uma urna N contém 4 bolas iguais numeradas de 4 a 7.
Uma bola será sorteada da seguinte maneira: primeiro será feito um sorteio entre as urnas M e N e, a seguir, será escolhida aleatoriamente uma bola da urna sorteada previamente.
A probabilidade de que seja sorteado o número 7 é: ⅛

-fazer a probabilidade da primeira situação que é a escolha da urna e depois multiplicar pela probabilidade da urna N somente pois é onde contém a bola número 7. 
(fgv 2018) Considere todas as senhas formadas por três vogais maiúsculas. São exemplos dessas senhas: EEE, OIA e UAU.
Dentre todas as senhas desse tipo, escolhendo ao acaso uma delas, a probabilidade de que ela tenha duas letras iguais e uma diferente é de: 48%